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Cristian Mendoza
Cristian Mendoza

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Fundamentos de Probabilidad para Calculo Estocastico: Una Guia Rigurosa

#probability #mathematics #finance

Introduccion

El calculo estocastico es la columna vertebral matematica de las finanzas cuantitativas modernas. Antes de adentrarnos en integrales de Ito, movimiento Browniano o modelos de Black-Scholes, es imprescindible construir una base solida en teoria de la probabilidad.

Este articulo presenta los fundamentos matematicos necesarios para comprender el calculo estocastico, con un enfoque riguroso pero accesible. Esta basado en el primer capitulo del clasico "Stochastic Calculus for Finance II" de Steven E. Shreve.

Por que necesitamos probabilidad rigurosa

En modelos discretos como el arbol binomial, trabajamos con un numero finito de escenarios. Podemos enumerar cada posible resultado y asignarle una probabilidad de manera directa.

Sin embargo, cuando modelamos precios en tiempo continuo, la situacion cambia radicalmente. Consideremos el precio de una accion observado cada segundo durante un año: son aproximadamente 31.5 millones de observaciones. En cada instante, el precio puede tomar cualquier valor positivo, y la secuencia de valores forma una trayectoria continua.

El conjunto de todas las posibles trayectorias es incontable. No podemos simplemente enumerar cada escenario y asignarle una probabilidad. Aqui es donde la teoria de la medida proporciona el marco matematico necesario.

El Espacio Muestral

Definicion formal

El espacio muestral, denotado por la letra griega Omega, es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Formalmente:

Ω=todos los posibles resultados \Omega = {\text{todos los posibles resultados}}

Ejemplos introductorios

Para un dado de seis caras:

Ω=1,2,3,4,5,6 \Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Para una moneda:

Ω=cara,cruz \Omega = {\text{cara}, \text{cruz}}

El espacio muestral en finanzas

En el contexto de precios de activos financieros, el espacio muestral tiene una estructura mas sofisticada. Cada elemento omega del espacio muestral no es un numero, sino una funcion completa que describe la trayectoria del precio desde el tiempo inicial hasta el tiempo final:

ω:[0,T]→R+ \omega: [0, T] \rightarrow \mathbb{R}^+

Esto significa que omega asigna a cada instante de tiempo un precio positivo. El espacio muestral es entonces:

Ω=ω:[0,T]→R+∣ω es continua \Omega = {\omega : [0,T] \rightarrow \mathbb{R}^+ \mid \omega \text{ es continua}}

Este es el conjunto de todas las funciones continuas que mapean el intervalo de tiempo a numeros reales positivos.

Interpretacion geometrica

Podemos visualizar Omega como el espacio de todos los posibles "caminos" que puede tomar el precio:

Precio
   |     _____
   |    /     \____
   |   /           \     <- Trayectoria omega_1
   |  /             \
   | /               
S_0|------------------
   |\                 
   | \      ___      <- Trayectoria omega_2
   |  \____/   \___
   |___________________ Tiempo
   0                 T
Enter fullscreen mode Exit fullscreen mode

Cada linea representa un elemento diferente del espacio muestral.

La Sigma-Algebra

El problema de asignar probabilidades

Cuando Omega es infinito (especialmente no contable), surge un problema fundamental: no podemos asignar probabilidades coherentes a todos los subconjuntos de Omega. Intentar hacerlo conduce a paradojas matematicas, como la paradoja de Banach-Tarski.

La solucion es restringir nuestra atencion a una coleccion especifica de subconjuntos "bien comportados". Esta coleccion es la sigma-algebra.

Definicion axiomatica

Una sigma-algebra F sobre Omega es una coleccion de subconjuntos de Omega que satisface tres axiomas:

Axioma 1 - Contiene el espacio completo:

Ω∈F \Omega \in \mathcal{F}

Axioma 2 - Cerrada bajo complementos:

A∈F  ⟹  Ac∈F A \in \mathcal{F} \implies A^c \in \mathcal{F}

donde A^c denota el complemento de A (todos los elementos de Omega que no estan en A).

Axioma 3 - Cerrada bajo uniones contables:

A1,A2,A3,…∈F  ⟹  ⋃i=1∞Ai∈F A_1, A_2, A_3, \ldots \in \mathcal{F} \implies \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}

Consecuencias de los axiomas

De estos tres axiomas se derivan propiedades adicionales:

  • El conjunto vacio pertenece a F (porque es el complemento de Omega)
  • F es cerrada bajo intersecciones contables (por leyes de De Morgan)
  • F es cerrada bajo diferencias de conjuntos

Interpretacion probabilistica

Los elementos de F se denominan eventos. Son los unicos subconjuntos de Omega a los que podemos asignar probabilidad de manera coherente.

En finanzas, ejemplos de eventos incluyen:

  • "El precio final excede 100 dolares": {omega in Omega : S_T(omega) > 100}
  • "El precio nunca cayo por debajo de 50 dolares": {omega in Omega : min_{t in [0,T]} S_t(omega) >= 50}
  • "El precio maximo fue alcanzado en la primera mitad del periodo": conjuntos mas complejos

Casos extremos

Sigma-algebra trivial:

F=∅,Ω \mathcal{F} = {\emptyset, \Omega}

Esta es la sigma-algebra mas pequena posible. Solo podemos hacer dos afirmaciones: "algo ocurrira" (Omega) o "nada ocurrira" (vacio). Representa ausencia total de informacion.

Sigma-algebra potencia:

F=2Ω=A:A⊆Ω \mathcal{F} = 2^\Omega = {A : A \subseteq \Omega}

Cuando Omega es finito, podemos usar todos los subconjuntos. Esto representa informacion completa. Para Omega infinito, esto generalmente no es posible.

La Medida de Probabilidad

Definicion axiomatica

Una medida de probabilidad P es una funcion que asigna a cada evento en F un numero real entre 0 y 1:

P:F→[0,1] \mathbb{P}: \mathcal{F} \rightarrow [0, 1]

Esta funcion debe satisfacer los axiomas de Kolmogorov:

Axioma 1 - Normalizacion:

P(Ω)=1 \mathbb{P}(\Omega) = 1

La probabilidad de que ocurra algun resultado es 1 (certeza).

Axioma 2 - No negatividad:

P(A)≥0∀A∈F \mathbb{P}(A) \geq 0 \quad \forall A \in \mathcal{F}

Las probabilidades no pueden ser negativas.

Axioma 3 - Sigma-aditividad:

Para cualquier secuencia de eventos mutuamente excluyentes A_1, A_2, ...:

P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai) \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i)

La probabilidad de una union contable de eventos disjuntos es la suma de sus probabilidades individuales.

El espacio de probabilidad

El triplete (Omega, F, P) se denomina espacio de probabilidad y constituye la estructura fundamental de la teoria:

(Ω,F,P) (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})
  • Omega especifica que puede ocurrir (el universo de posibilidades)
  • F especifica que podemos observar y medir (la estructura de informacion)
  • P especifica cuan probable es cada evento (la ley de probabilidad)

Propiedades derivadas

De los axiomas se derivan propiedades utiles:

  • P(vacio) = 0
  • P(A^c) = 1 - P(A)
  • Si A esta contenido en B, entonces P(A) <= P(B)
  • P(A union B) = P(A) + P(B) - P(A interseccion B)

Variables Aleatorias

Definicion formal

Una variable aleatoria X es una funcion que asigna un numero real a cada resultado del espacio muestral:

X:Ω→R X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}

Sin embargo, no cualquier funcion califica. La funcion debe ser medible respecto a la sigma-algebra F.

Condicion de medibilidad

Una funcion X es F-medible si para todo numero real a, el conjunto de resultados donde X no excede a pertenece a F:

ω∈Ω:X(ω)≤a∈F∀a∈R {\omega \in \Omega : X(\omega) \leq a} \in \mathcal{F} \quad \forall a \in \mathbb{R}

Esta condicion garantiza que podemos calcular probabilidades como P(X <= a) para cualquier umbral a.

Interpretacion

La medibilidad asegura que la variable aleatoria es "compatible" con nuestra estructura de informacion. Si un evento como "X es menor que 5" no pertenece a F, no tendria sentido preguntar por su probabilidad.

Variables aleatorias en finanzas

El precio de un activo en tiempo T es una variable aleatoria:

ST:Ω→R+ S_T: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^+

Para cada trayectoria omega, S_T(omega) nos da el precio en el momento T siguiendo esa trayectoria particular.

Funcion de distribucion

La funcion de distribucion acumulada (FDA) de X se define como:

FX(a)=P(X≤a)=P(ω∈Ω:X(ω)≤a) F_X(a) = \mathbb{P}(X \leq a) = \mathbb{P}({\omega \in \Omega : X(\omega) \leq a})

Esta funcion caracteriza completamente la ley de probabilidad de X.

Valor Esperado

Definicion para variables discretas

Si X toma valores x_1, x_2, ... con probabilidades p_1, p_2, ..., el valor esperado es:

E[X]=∑ixi⋅P(X=xi)=∑ixi⋅pi \mathbb{E}[X] = \sum_{i} x_i \cdot \mathbb{P}(X = x_i) = \sum_{i} x_i \cdot p_i

Definicion para variables continuas

Si X tiene funcion de densidad de probabilidad f_X(x), el valor esperado es:

E[X]=∫−∞∞x⋅fX(x) dx \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x) \, dx

Interpretacion

El valor esperado puede interpretarse como:

  1. Promedio ponderado: cada valor posible ponderado por su probabilidad
  2. Centro de masa: el punto de equilibrio de la distribucion de probabilidad
  3. Limite de promedios: por la ley de los grandes numeros, el promedio de muchas realizaciones independientes converge al valor esperado

Propiedades fundamentales

Linealidad:

E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y] \mathbb{E}[aX + bY] = a\mathbb{E}[X] + b\mathbb{E}[Y]

Esta propiedad vale siempre, incluso si X e Y no son independientes.

Monotonia:

X≤Y  ⟹  E[X]≤E[Y] X \leq Y \implies \mathbb{E}[X] \leq \mathbb{E}[Y]

Desigualdad de Jensen:

Para cualquier funcion convexa g:

g(E[X])≤E[g(X)] g(\mathbb{E}[X]) \leq \mathbb{E}[g(X)]

Ley del estadistico inconsciente:

Para una funcion g:

E[g(X)]=∫−∞∞g(x)⋅fX(x) dx \mathbb{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \cdot f_X(x) \, dx

No necesitamos conocer la distribucion de g(X); basta con conocer la de X.

Varianza y Momentos

Varianza

La varianza cuantifica la dispersion de X alrededor de su media:

Var(X)=E[(X−E[X])2] \text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]

Formula computacional alternativa:

Var(X)=E[X2]−(E[X])2 \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2

Desviacion estandar

La desviacion estandar es la raiz cuadrada de la varianza:

σX=Var(X) \sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}

Tiene la ventaja de estar en las mismas unidades que X.

Propiedades de la varianza

  • Var(X) >= 0, con igualdad si y solo si X es constante
  • Var(aX + b) = a^2 Var(X) (invariante ante traslaciones, escala cuadraticamente)
  • Si X e Y son independientes: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

Momentos

El momento de orden n de X es:

mn=E[Xn] m_n = \mathbb{E}[X^n]

El momento central de orden n es:

μn=E[(X−E[X])n] \mu_n = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^n]

Los momentos capturan diferentes aspectos de la distribucion:

  • Primer momento: localizacion (media)
  • Segundo momento central: dispersion (varianza)
  • Tercer momento central normalizado: asimetria (skewness)
  • Cuarto momento central normalizado: curtosis (colas pesadas)

Distribuciones Fundamentales

Distribucion Normal (Gaussiana)

La distribucion normal es ubicua en finanzas debido al Teorema Central del Limite. Si X sigue una distribucion normal con media mu y varianza sigma cuadrado, escribimos:

X∼N(μ,σ2) X \sim N(\mu, \sigma^2)

La funcion de densidad es:

fX(x)=1σ2πexp⁡(−(x−μ)22σ2) f_X(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

Propiedades:

  • E[X] = mu
  • Var(X) = sigma^2
  • Simetrica respecto a mu
  • La suma de normales independientes es normal
  • Cualquier combinacion lineal de normales conjuntamente normales es normal

Normal estandar:

La normal estandar tiene mu = 0 y sigma = 1:

Z∼N(0,1) Z \sim N(0, 1)

Cualquier normal puede estandarizarse: si X ~ N(mu, sigma^2), entonces (X - mu)/sigma ~ N(0, 1).

Distribucion Log-Normal

Si X ~ N(mu, sigma^2), entonces Y = e^X tiene distribucion log-normal.

Equivalentemente, Y es log-normal si log(Y) es normal.

Por que es crucial en finanzas:

El modelo de Black-Scholes asume que los retornos logaritmicos son normales. Esto implica que los precios son log-normales:

ST=S0exp⁡((μ−σ22)T+σWT) S_T = S_0 \exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma W_T\right)

Propiedades de la log-normal:

  • Siempre positiva (los precios no pueden ser negativos)
  • Asimetrica a la derecha
  • E[Y] = exp(mu + sigma^2/2)
  • La mediana es exp(mu), que es menor que la media

Independencia

Independencia de eventos

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B) \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)

Para n eventos, la independencia mutua requiere que esta relacion se cumpla para cualquier subcoleccion.

Independencia de variables aleatorias

Dos variables aleatorias X e Y son independientes si para cualesquiera conjuntos medibles A y B:

P(X∈A,Y∈B)=P(X∈A)⋅P(Y∈B) \mathbb{P}(X \in A, Y \in B) = \mathbb{P}(X \in A) \cdot \mathbb{P}(Y \in B)

Equivalentemente, la funcion de distribucion conjunta factoriza:

FX,Y(x,y)=FX(x)⋅FY(y) F_{X,Y}(x, y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)

Consecuencias de la independencia

Producto de esperanzas:

E[XY]=E[X]⋅E[Y] \mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y]

Varianza de la suma:

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)

Funcion generadora de momentos factoriza:

MX+Y(t)=MX(t)⋅MY(t) M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t)

Nota importante

La condicion E[XY] = E[X]E[Y] por si sola no implica independencia. Esta condicion se llama incorrelacion. Independencia implica incorrelacion, pero no viceversa.

Modos de Convergencia

Cuando trabajamos con secuencias de variables aleatorias, existen varios conceptos de convergencia, cada uno con diferentes implicaciones.

Convergencia casi segura

Xn→a.s.XsiP(lim⁡n→∞Xn=X)=1 X_n \xrightarrow{a.s.} X \quad \text{si} \quad \mathbb{P}\left(\lim_{n\to\infty} X_n = X\right) = 1

Esto significa que para "casi todo" resultado omega, la secuencia numerica X_n(omega) converge a X(omega). El conjunto de resultados donde no hay convergencia tiene probabilidad cero.

Convergencia en probabilidad

Xn→PXsilim⁡n→∞P(∣Xn−X∣>ϵ)=0∀ϵ>0 X_n \xrightarrow{P} X \quad \text{si} \quad \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \epsilon) = 0 \quad \forall \epsilon > 0

La probabilidad de desviaciones grandes se hace arbitrariamente pequena. Esto es mas debil que convergencia casi segura.

Convergencia en L^p

Xn→LpXsilim⁡n→∞E[∣Xn−X∣p]=0 X_n \xrightarrow{L^p} X \quad \text{si} \quad \lim_{n\to\infty} \mathbb{E}[|X_n - X|^p] = 0

Para p = 2, esto se llama convergencia en media cuadratica.

Convergencia en distribucion

Xn→dXsilim⁡n→∞FXn(x)=FX(x) X_n \xrightarrow{d} X \quad \text{si} \quad \lim_{n\to\infty} F_{X_n}(x) = F_X(x)

para todo x donde F_X es continua.

Esta es la convergencia mas debil. Solo requiere que las distribuciones converjan, no las variables mismas.

Jerarquia de implicaciones 

Casi segura  -->  En probabilidad  -->  En distribucion
     |
     v
   En L^p  -->  En probabilidad
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Las flechas inversas no son validas en general.

Teoremas Limite Fundamentales

Ley de los Grandes Numeros

Sea X_1, X_2, ... una secuencia de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas (i.i.d.) con media mu.

Ley debil:

Xˉn=1n∑i=1nXi→Pμ \bar{X}n = \frac{1}{n}\sum{i=1}^{n} X_i \xrightarrow{P} \mu

Ley fuerte:

Xˉn→a.s.μ \bar{X}_n \xrightarrow{a.s.} \mu

Interpretacion:

El promedio muestral converge al promedio poblacional cuando el tamano de muestra crece. Esto justifica el uso de promedios empiricos para estimar esperanzas.

Aplicacion en finanzas:

La simulacion Monte Carlo se basa en este teorema. Si queremos calcular E[g(S_T)], simulamos muchas trayectorias y promediamos g(S_T) sobre ellas.

Teorema Central del Limite

Sea X_1, X_2, ... una secuencia i.i.d. con media mu y varianza sigma^2 finita.

Xˉn−μσ/n→dN(0,1) \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)

Equivalentemente:

n(Xˉn−μ)→dN(0,σ2) \sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)

Interpretacion:

Independientemente de la distribucion original (siempre que tenga varianza finita), la suma normalizada de muchas variables independientes converge a una distribucion normal.

Aplicacion en finanzas:

Si los retornos diarios son i.i.d. (supuesto simplificado), el retorno anual es aproximadamente normal porque es la suma de muchos retornos diarios. Esto justifica parcialmente el uso de distribuciones normales en finanzas, aunque en la practica los retornos exhiben colas pesadas.

Resumen

Los conceptos presentados forman el andamiaje sobre el cual se construye el calculo estocastico:

Concepto Notacion Significado
Espacio muestral Omega Todos los posibles resultados
Sigma-algebra F Eventos a los que podemos asignar probabilidad
Medida de probabilidad P Asignacion de probabilidades
Variable aleatoria X Funcion medible de Omega a los reales
Valor esperado E[X] Promedio ponderado por probabilidad
Varianza Var(X) Dispersion alrededor de la media

El espacio de probabilidad (Omega, F, P) es la estructura fundamental. En finanzas:

  • Omega contiene todas las posibles trayectorias de precios
  • F codifica la informacion observable
  • P asigna probabilidades a eventos del mercado

La distribucion log-normal modela precios de activos, y el Teorema Central del Limite justifica la ubicuidad de la distribucion normal en finanzas.

Referencias

  • Shreve, S. E. (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer.
  • Williams, D. (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press.
  • Billingsley, P. (1995). Probability and Measure. Wiley.

Este articulo es el primero de una serie sobre calculo estocastico aplicado a finanzas cuantitativas.

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